আয়তক্ষেত্র কাকে বলে

আয়তক্ষেত্র কাকে বলে, আয়তক্ষেত্র কাকে বলে ও বৈশিষ্ট্য

উত্তর : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ ( 90°), সেই চতুর্ভুজকে আয়তক্ষেত্র( Rectangle) বলে।

যে চতুর্ভুজের সমান্তরাল বাহুগুলি একে অপরের সমান এবং চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ চারটি কোণের মান 90°, সেই চতুর্ভুজ হলো আয়তক্ষেত্র।

আয়তক্ষেত্রের সংজ্ঞা

উত্তর : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং অভ্যন্তরের চারটি কোণের প্রত্যেকেই সমকোণ অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রি হয় তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য

• আয়তক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং চারটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে।
• প্রতিটি আয়তক্ষেত্র একটি চতুর্ভুজ।
• আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ বা 90°।
• আয়তক্ষেত্রের সমস্ত আভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হল 360°।
• আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল।
• আয়তক্ষেত্র একটি অনিয়মিত বহুভুজ।
• একটি আয়তক্ষেত্রের 4টি বাহু এবং 4টি শীর্ষবিন্দু ও 4টি সমকোণ রয়েছে।
• প্রতিটি শীর্ষে 90 ডিগ্রির সমান কোণ রয়েছে।
• সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি 360 ডিগ্রির সমান।
• আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হয়।
• আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
• আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
• আয়তক্ষেত্রের পরিধি দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের যোগফলের দ্বিগুণের সমান।
• ক্ষেত্রফল এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণফলের সমান।
• আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান।
• আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুটির দৈর্ঘ্য সমান।
• যেহেতু একটু আয়ত্তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল, তাই একে সমান্তরালগ্রামও বলা হয়।
• পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে কর্ণ গুলির দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। যেখানে a হল আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং b হল আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, তাহলে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য হল, কর্ণ = √(a ² + b ² )।
• আয়তক্ষেত্রের যেকোনো কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
• আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি কেবল সমান। তাই এটিকে একটি বর্গক্ষেত্র থেকে আলাদা করে।
• আয়তক্ষেত্র হল একটি দ্বিমাত্রিক (2D )সমতল আকৃতি। তাই এর দুটি মাত্রা দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ।
• XY দ্বিমাত্রিক সমতলে একটি আয়তক্ষেত্র কে সহজেই উপস্থাপন করা যায় যেখানে X হল একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং Y হল ওই আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ।

আয়তক্ষেত্রের প্রকারভেদ

উত্তর : একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি সমান ও সমান্তরাল এবং সন্নিহিত বাহুগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে সমকোণ উৎপন্ন করে, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

আয়তক্ষেত্রের সমান দুটি কর্ণ রয়েছে। দৈর্ঘ্য প্রস্থ ব্যবহার করে আয়তক্ষেত্রের কর্ণ গুলির দৈর্ঘ্য গণনা করা যায়। প্রধানত দুই ধরনের আয়তক্ষেত্র রয়েছে সেগুলি হল-

• বর্গক্ষেত্র
• গোল্ডেন আয়তক্ষেত্র

বর্গক্ষেত্র

যে চতুর্ভূজ এর চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণ সমান অর্থাৎ 90°, তাকে বর্গক্ষেত্র বলে। আয়তক্ষেত্রের মতো বর্গক্ষেত্রও একটি বদ্ধ দ্বিমাত্রিক আকৃতি বিশিষ্ট ক্ষেত্র।

আয়তক্ষেত্রের অনুরূপ বর্গক্ষেত্রেরও চারটি শীর্ষবিন্দুর আভ্যন্তরীণ কোণের মান 90°।

আয়তক্ষেত্রে যে সমস্ত বৈশিষ্ট্য গুলি রয়েছে, তা বর্গক্ষেত্রের সংজ্ঞা কেও সিদ্ধ করে।

বৈশিষ্ট্য

• প্রতিটি বর্গক্ষেত্র মানেই আয়তক্ষেত্র কিন্তু প্রতিটিআয়তক্ষেত্র মানেই বর্গক্ষেত্র নয়।
• একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুটি আয়তক্ষেত্রটিকে চারটি ত্রিভুজের বিভক্ত করে।
• প্রতিটি আয়তক্ষেত্রেই সমান সমান্তরাল কিন্তু প্রতিটি সমান্তরাল আয়তক্ষেত্র নয়।

গোল্ডেন আয়তক্ষেত্র

একটি সোনালী আয়তক্ষেত্র হল একটি আয়তক্ষেত্র যার ‘দৈর্ঘ্য থেকে প্রস্থ’ অনুপাত সোনালী অনুপাতের অনুরূপ , 1: (1+⎷5)/2 । এর বাহুগুলি সোনালী অনুপাত অনুসারে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অর্থাৎ 1: 1.618 । উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ প্রায় 1 ফুট লম্বা হয় তবে দৈর্ঘ্য 1.168 ফুট লম্বা হবে।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

উত্তর : একটি আয়তক্ষেত্র দ্বারা দখলকৃত স্থান হল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলর মান কে বর্গএককে প্রকাশ করা হয়। এক্ষেত্রে একক হিসেবে বর্গসেমি, বর্গমিটার প্রভৃতি ব্যবহার করা হয়।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল হল একটি সমতলে দ্বি-মাত্রিক আকৃতি দ্বারা আচ্ছাদিত অঞ্চল। এটি দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের গুণফলের সমান।

কোনো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও প্রস্থ জানা থাকলে ওই আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য খুব সহজে নির্ণয় করা যায়।

• আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য হবে = ( আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ) একক
• আবার আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = √{ক্ষেত্রফল ×( দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত)} একক

ঠিক একইভাবে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও তার দৈর্ঘ্য জানা থাকলে আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ নিচের দেওয়া সূত্রের সাহায্যে খুব সহজেই বের করা যায়।

• আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ হবে =(আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ÷ দৈর্ঘ্য ) একক
• আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =√ {ক্ষেত্রফল × (প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত)} একক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা

উত্তর : একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হল আয়তক্ষেত্রের চারটি সীমানার মোট দৈর্ঘ্য। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমষ্টি হিসেবে নেওয়া হয় এবং পরিসীমার সমষ্টির মান কে সেন্টিমিটার মিটার ইঞ্চি ইত্যাদি রৈখিক এককে প্রকাশ করা যায়।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা =2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমাকে আয়তক্ষেত্রের বাইরের সীমানা দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দূরত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি একক দৈর্ঘ্যে পরিমাপ করা হয়।

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ

উত্তর : একটি আয়তক্ষেত্রের তির্যক রেখা যা আয়তক্ষেত্রটির যেকোনো দুটি অসংলগ্ন শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলিত হয়। তির্যক রেখাটি একটি আয়তক্ষেত্রকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে। তির্যক রেখা দুটি হল আয়তক্ষেত্রের 2টি কর্ণ। আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহু দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু গঠন করে।

আয়তক্ষেত্রটি একটি প্রতিসম আকৃতি এবং উভয় কর্ণের দৈর্ঘ্য সমান।

একটি কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে ভাগ করবে।

তাই আমরা সহজেই পিথাগোরাস উপপাদ্য ব্যবহার করে কর্ণের দৈর্ঘ্য গণনা করতে পারি, যেখানে কর্ণগুলিকে সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

ধরুন D হল কর্ণ, দৈর্ঘ্য (L) এবং প্রস্থ (W) যথাক্রমে ভিত্তি এবং লম্ব। সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের কর্ণটির দৈর্ঘ্য হবে:

আয়তক্ষেত্র সূত্র

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র

উত্তর : আয়তক্ষেত্রের একটি বাহু ও কর্ণ প্রদত্ত হলে আয়তক্ষেত্রের নিচের দেওয়া সূত্রের সাহায্যে খুব সহজেই বের করা যায়।

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্রটি হল √{(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²}

• আয়তক্ষেত্রের অপর বাহু = √(কর্ণ) ² – (প্রদত্তবাহু)² একক

আয়তক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x একক এবং কর্ণ D একক হলে

• আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, A= { X ×√ X² – D²  } বর্গএকক
• আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা, P= 2{ X + √ X² – D² } একক

আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের সূত্র

আয়তক্ষেত্র সূত্র

উত্তর : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক।

বর্গক্ষেত্রের সূত্র

উত্তর : বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য)২ = দৈর্ঘ্য ´ দৈর্ঘ্য।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হচ্ছে ওই আয়তক্ষেত্রের চারটি বাহুর যোগফল। অর্থাৎ একটি আয়তক্ষেত্র যদি চারটি বাহু নিয়ে গঠিত হয় তবে সেই চারটি বাহুর যোগফলই হবে ওই আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = দৈর্ঘ্য + প্রস্থ + দৈর্ঘ্য + প্রস্থ

বা, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হচ্ছে ওই আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ এর যোগফলের দ্বিগুণ।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ এর গুণফলই হচ্ছে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক।

যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 3 মিটার হয় এবং প্রস্থ 2 মিটার হয় তবে ওই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে (3 × 2) বর্গ মিটার অর্থাৎ ৬ বর্গমিটার।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্রটি হল √{(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²} অর্থাৎ দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উভয়ের বর্গের যোগফল এর বর্গমূল হচ্ছে একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য।

যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 3 মিটার হয় এবং প্রস্থ 2 মিটার হয় তবে ওই আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে √(3² + 2²) একক বা √13 একক।

আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য

একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি আয়তক্ষেত্রের মধ্যে মূল পার্থক্যগুলি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

বর্গক্ষেত্র	আয়তক্ষেত্র
সব দিক সমান দৈর্ঘ্যের।	শুধুমাত্র বিপরীত দিকগুলি সমান দৈর্ঘ্যের।
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি একে অপরের লম্ব দ্বিখণ্ডক।	একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ একে অপরের লম্ব দ্বিখণ্ডক নয়।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = পার্শ্ব2	আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
বর্গক্ষেত্রের পরিধি = 4 x (পার্শ্বের দৈর্ঘ্য)	আয়তক্ষেত্রের পরিধি = 2 (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)

আয়তক্ষেত্র ও সামান্তরিকের পার্থক্য

আয়তক্ষেত্র ও সামান্তরিকের মধ্যে প্রধান পার্থক্য সমূহ নিচে টেবিল আকারে দেওয়া হল।

	আয়তক্ষেত্র	সামান্তরিক
১.	যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ, তাই আয়তক্ষেত্র।	যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো সমান, তাই সামান্তরিক।
২.	আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ বা ৯০°	সামান্তরিকের একটি কোণও সমকোণ নয়।
৩.	আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।	সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান
৪.	আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্তের দিকের বাহু পরস্পরের উপর লম্ব।	সামান্তরিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্তের দিকের বাহু পরস্পরের উপর লম্ব নয়।
৫.	আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক।	সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক, বা A = bh
৬.	আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র= √{(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²}	সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুইটি a ও b এবং তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ θ। সুতরাং, সামান্তরিকের কর্ণ d = √(a² + b²- 2ab cosθ)
৭.	আয়তক্ষেত্রের চিত্র:	সামান্তরিকের চিত্র:

আরো অন্যান্য অতি জনপ্রিয় প্রশ্নোত্তর সম্পর্কে জানার জন্য এখানে ক্লিক করুন 

FAQ | আয়তক্ষেত্র

আপনি কি চাকরি খুজঁছেন, নিয়মিত সরকারি ও বেসরকারি চাকরির সংবাদ পেতে ক্লিক করুন। বিভিন্ন সরকারি ও বেসরকারি ক্ষেত্রে মানব সম্পদ উন্নয়ন সংক্রান্ত প্রতিবেদন পাড়ার জন্য, ক্লিক করুন। হিন্দিতে শিক্ষামূলক ব্লগ পড়তে, এখানে ক্লিক করুন। এছাড়াও, স্বাস্থ, টেকনোলজি, বিসনেস নিউস, অর্থনীতি ও আরো অন্যান্য খবর জানার জন্য, ক্লিক করুন।